`2^n C_n ^0+2^[n-1] C_n ^1+2^[n-2] +... +C_n ^n=59049`

`<=>(2+1)^n=59049`

`<=>3^n=59049`

`<=>n=10 =>(2x^2+1/[x^3])^10`

Xét số hạng thứ `k+1:`

    `C_10 ^k (2x^2)^[10-k] (1/[x^3])^k ,0 <= k <= 10`

 `=C_10 ^k 2^[10-k] x^[20-5k]`

Số hạng chứa `x_5` xảy ra `<=>20-5k=5<=>k=3`

Với `k=3` thì số hạng cần tìm là: `C_10 ^3 2^[10-3] x^5=15360 x^5`

Xét khai triển:

\(\left(3-x\right)^n=C_n^0.3^n+C_n^1.3^{n-1}.\left(-x\right)^1+...+C_n^n\left(-x\right)^n\)

Thế \(x=1\) vào ta được:

\(2^n=3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+...+\left(-1\right)^nC_n^n\)

\(\Rightarrow2^n=2048=2^{11}\Rightarrow n=11\)

Akai Haruma giúp em với

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n\)

\(\Leftrightarrow x\left(1+x\right)^n=C_n^0x+C_n^1x^2+C_n^2x^3+...+C_n^nx^{n+1}\)

Đạo hàm 2 vế:

\(\left(1+x\right)^n+nx\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^0+2C_n^1x+3C_n^2x^2+...+\left(n+1\right)C_n^nx^n\)

Thay \(x=1\)

\(\Rightarrow2^n+n.2^{n-1}=1+2C_n^1+3C_n^2+...+\left(n+1\right)C_n^n\)

\(\Rightarrow2^{n-1}\left(2+n\right)-1=111\)

\(\Rightarrow2^{n-1}\left(2+n\right)=112=2^4.7\)

\(\Rightarrow n=5\)

\(\left(x^2+\dfrac{2}{x}\right)^5=\sum\limits^5_{k=0}C_5^kx^{2k}.2^{5-k}.x^{k-5}=\sum\limits^5_{k=0}C_5^k.2^{5-k}.x^{3k-5}\)

\(3k-5=4\Rightarrow k=3\Rightarrow\) hệ số: \(C_5^3.2^2\)

\(\left(x+2\right)^n=C^0_n\cdot x^n+C^1_n\cdot x^{n-1}\cdot2+...+C^n_n\cdot2^n\)(1)

Tổng các hệ số trong khai triển (1) là;

(1+2)^n=3^n

=>3^n=243

=>n=5

Số hạng nào hả bạn? 

tham khảo

Với k \(\in\)N* ; ta có : \(kC_n^k=k.\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!k!}=\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!\left(k-1\right)!}=\dfrac{n\left(n-1\right)!}{\left[n-1-\left(k-1\right)\right]!\left(k-1\right)!}=nC_{n-1}^{k-1}\)

Khi đó : \(C_n^1+2C_n^2+...+nC^n_n\)  = \(\Sigma^n_{k=1}nC^{k-1}_{n-1}\)  

= \(n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\)  \(=n.\left(1+1\right)^{n-1}=n.2^{n-1}\) ( đpcm )

Ta có:

\(k.C_n^k=k.\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!.k!}=n.\dfrac{\left(n-1\right)!}{\left(n-1-\left(k-1\right)\right)!\left(k-1\right)!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)

Do đó:

\(1C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n\)

\(=n.C_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+...+n\left(C_{n-1}^{n-1}\right)\)

\(=n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\)

\(=n.2^{n-1}\)

Lời giải:

Theo khai triển New-ton:

Xét \((x+1)^{2n}=C^0_{2n}+C^1_{2n}x+...+C^n_{2n}x^n+...+C^{2n}_{2n}x^{2n}\)

Như vậy, \(C^n_{2n}\) là hệ số của $x^n$ trong khai triển \((x+1)^{2n}\)

Mặt khác:

\((x+1)^{2n}=(x+1)^n.(x+1)^n=(\sum_{n}^{i=0}C^k_nx^{n-k})(\sum_{n}^{i=0}C^{k}_nx^k)\)

\(=(C^0_nx^n+C^1_nx^{n-1}+C^2_nx^{n-2}+...+C^n_n)(C^0_n+C^1_nx+C^2_nx^2+...+C^n_nx^n)\)

Hệ số của $x^n$ trong khai triển này là:

\((C^0_n)^2+(C^1_n)^2+....+(C^n_n)^2\)

Do đó \((C^0_n)^2+(C^1_n)^2+....+(C^n_n)^2=C^n_{2n}\) (đpcm)